数の構成

このサイトでは、大学以降で数学を学ぶ上で基礎となる、数の構成について見ていきます。内容は、以下のように分かれています。

ペアノの公理を用いた自然数の構成や演算の定義を行い、整数や有理数を商集合を用いて定義していきます。また、デデキントの切断を用いた実数の定義も行います。（実数のところは、作成中）

高校までの数学の内容をゴリゴリと使っていくわけではないですが、高校数学を学んだ後の方が読みやすいです。なお、中学数学までは前提とします。

高校までの数学よりは厳密に、しかし、専門書よりはかみ砕いて書いていきます。

「数の構成」って何？

大学で数学を学ぶ場合、線形代数学や微分積分学から始まることが多いです。微分・積分は高校でも学びましたが、大学での数学は高校のときよりも厳密に進んでいきます。特に、極限の扱いが厳密になるのですが、そのためにはまず実数について理解を深めておく必要があります。

そもそも、小中高の算数・数学では、数について、直感や経験に訴えかけるような説明がされることが多いです。一方で、現代の数学では厳密で抽象的に定義されています。ただ、多くの本ではすでに分かっているものとして大半が省略されていたり、逆に細かく書かれ過ぎていたりします。

このサイトでは、「数」が現代の数学でどのように定義されているか、どのように扱われているか、を見ていきます。微分積分学を学ぶためには、基本的には、実数の部分から読んでいけば十分です（多くの専門書でも、有理数までは知っているものとして、実数の説明から始まります）。ただ、今後、数学を学んでいく上で役に立つ概念や議論の進め方などに触れるために、このシリーズでは「自然数」から順番に見ていくこととします。

「数の構成」で何を学ぶか

少しわかりづらいのですが、全体的に、「高校までに使っていた数」と同じ計算などができるように、新しく数を構成していくことになります。数を定義しなおしていくわけです。なので、このシリーズを学んだからと言って、（特に有理数までは）新しい計算ができるようになるわけではありません。

それどころか、 $1+1=2$ とか $x+y=y+x$ のような、当たり前に思える内容を証明したりもします。これは今まで経験則的に成り立つと思っていたものが、新しく厳密に定義しなおした後でも本当に成り立つかどうかを確認するために行います。つまり、「証明してこの定理を使いたい」というよりは、「新しく作ったこの定義が “いい”定義なのか、今まで使っていた数のように使える定義なのかを確認したい」という気持ちで話が進んでいきます。

「当たり前に成り立つものを難しく言ってる」わけではなく、「当たり前と思っている内容が成り立つように、うまく定義されている」ことを見ていくものだと思って読み進めていってください。