有理数の乗法の性質
ここでは、有理数の乗法を定義を受けて、乗法の性質を見ていきます。
有理数の乗法の振り返り
まずは、有理数の乗法の定義について振り返っておきましょう。
整数 $a\in\mathbb{Z}$ と $0$ 以外の整数 $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき、このとき $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。
$[(a,b)] = \lbrace (c,d)\mid ad=cb \rbrace$
これは、有理数を $\dfrac{a}{b}$ で表そうというアイデアに基づいています。 $ad=cb$ なら $a\div b=c\div d$ が成り立つのだから、同じ有理数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\lbrace [(a,b)] \rbrace$ を有理数の集合といい、各元を有理数と呼ぶのでした。
また、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。こうすれば、代表元によらずに定義することができるのでした。
そして、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との積は、\[ [(ac,bd)] \]で定義しました。これは、\[ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]というアイデアによります。こうすれば、代表元によらずに積が定義することができるのでした。
これらを踏まえて、乗法の性質を見ていきましょう。
ゼロとの積
整数の世界では、 $0$ との積は $0$ になりましたが、これは有理数の乗法でも成り立ちます。
$0$ との積
有理数 $q$ に対して、 $q\cdot 0=0\cdot q=0$ が成り立つ。
$q$ は、 $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $[(a,b)]$ で表すことができます。 $0$ は $[(0,1)]$ と書けるので、定義通りに積を求めると \begin{eqnarray} z\cdot 0 &=& [(a\cdot 0, b\cdot 1)] \\[5pt] &=& [(0,b)] \end{eqnarray}となります。これは $0$ のことなので、 $q\cdot 0=0$ となります。 $0\cdot q=0$ も同様の計算で示せます。
なお、有理数の世界でも、積が $0$ ならどちらかは $0$ になります。
$a,b,c,d\in\mathbb{Z}^*$ として $[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(0,1)]$ だとしましょう。このとき、\[ ac\cdot 1=0\cdot bd \]が成り立ちます。つまり、 $ac=0$ ですが、整数の乗法では、 $0$ でないもの同士の積が $0$ になることはありません（参考：整数と簡約法則#整数の乗法と簡約法則）。なので、 $a=0$ または $c=0$ であり、 $[(a,b)]=0$ または $[(c,d)]=0$ であることがわかります。
イチとの積
整数の乗法では、 $1$ を掛けても結果は変わりませんでしたが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。
$1$ との積
有理数 $q$ に対して、 $q\cdot 1=1\cdot q=q$ が成り立つ。
先ほどと同じように $q$ を $[(a,b)]$ と表します。 $1$ は $[(1,1)]$ と書けるので、 \begin{eqnarray} z\cdot 1 &=& [(a\cdot 1, b\cdot 1)] \\[5pt] &=& [(a,b)] \end{eqnarray}となるので、 $q\cdot 1=q$ となります。 $1\cdot q=q$ も同様の計算で示せます。
有理数の乗法の交換法則
自然数や整数の乗法では、掛ける順番を入れ替えても積は変わらなかったですが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。
有理数の乗法の交換法則
有理数 $x,y$ に対して、 $xy=yx$ が成り立つ。
$a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$ と表します。すると、 \begin{eqnarray} xy &=& [(ac,bd)] \\[5pt] yx &=& [(ca,db)] \end{eqnarray}となります。整数の乗法の交換法則から、右辺同士が等しいことがわかるので、 $xy=yz$ が成り立つことがわかります。
有理数の乗法の結合法則
自然数や整数の乗法では、結合法則が成り立ちますが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。
有理数の乗法の結合法則
有理数 $x,y,z$ に対して、 $(xy)z=x(yz)$ が成り立つ。
$a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$, $z$ を $[(e,f)]$ と表すと \begin{eqnarray} & & (xy)z \\[5pt] &=& [(ac,bd)]\cdot[(e,f)] \\[5pt] &=& [((ac)e,(bd)f)] \end{eqnarray}となり、 \begin{eqnarray} & & x(yz) \\[5pt] &=& [(a,b)]\cdot[(ce,df)] \\[5pt] &=& [(a(ce),b(df))] \end{eqnarray}となります。整数の乗法の結合法則から、最後の式同士が等しいことがわかります。なので、 $(xy)z=x(yz)$ が成り立つことがわかります。
有理数の分配法則
有理数の世界でも、自然数や整数のときと同じように、分配法則が成り立ちます。
有理数の分配法則
有理数 $x,y,z$ に対して、 \begin{eqnarray} x(y+z) &=& xy+xz \\[5pt] (x+y)z &=& xz+yz \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。
証明の流れは同じです。 $a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$, $z$ を $[(e,f)]$ とします。
まずは、1つ目の式を考えます。左辺は \begin{eqnarray} & & x(y+z) \\[5pt] &=& [(a,b)]\cdot\left([(c,d)]+[(e,f)]\right) \\[5pt] &=& [(a,b)]\cdot [(cf+de,df)] \\[5pt] &=& [(a(cf+de),b(df))] \\[5pt] &=& [(acf+ade,bdf)] \end{eqnarray}であり、右辺は \begin{eqnarray} & & xy+xz \\[5pt] &=& [(ac,bd)]+[(ae,bf)] \\[5pt] &=& [(acbf+bdae,bdbf)] \end{eqnarray}となります。この最後の式同士は等しい、つまり、\[ (acf+ade)bdbf = (acbf+bdae)bdf \]が成り立つことがわかります（展開して比較するだけです）。なので、1つ目の式が成り立つことがわかります。
2つ目の式は、
$(x+y)z$
$=z(x+y)$ （交換法則）
$=zx+zy$ （先ほど示した分配法則）
$=xz+yz$ （交換法則）
から、成り立つことがわかります。
また、整数のときと同じようにすると、次のことも示せます。
有理数の（加法における）逆元と積
有理数 $x,y$ について次が成り立つ。
- $(-x)y=x(-y)=-(xy)$
- $(-x)(-y)=xy$
示している内容を見てみると、分配法則やゼロとの積に関する性質を使っているだけなので、有理数のときも同じ形の式が成り立つことがわかります。
有理数の乗法の逆元
ここまでは、自然数や整数の乗法が持っている性質を、有理数の乗法も持っている、という話でしたが、ここからが違います。有理数の乗法の場合、 $0$ 以外の有理数には、掛けて $1$ になるものが必ず存在します。
$q$ を $0$ 以外の有理数とします。この $q$ は、 $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って $q=[(a,b)]$ と表せますが、 $a$ は $0$ となることはありません。 $a=0$ なら $[(0,1)]$ と等しくなってしまい、 $q\ne 0$ という条件を満たさないからです。
$q\ne 0$ のときは $a\ne 0$ となるので、 $[(b,a)]$ という別の有理数を考えることができます。このとき、 \begin{eqnarray} [(a,b)]\cdot[(b,a)] &=& [(ab,ba)] \end{eqnarray}となります。 $ab\cdot1=1\cdot ba$ が成り立つので、この式は $[(1,1)]$ と等しくなります。つまり、 $1$ に等しくなります。交換法則から $[(b,a)]\cdot[(a,b)]=1$ も成り立ちます。
$q$ に対して、このように、掛けて $1$ となるような有理数は1つしかありません。 $q\cdot x=x\cdot q=1$, $q\cdot y=y\cdot q=1$ とすると \begin{eqnarray} (x\cdot q)\cdot y &=& 1\cdot y \\[5pt] x\cdot (q\cdot y) &=& y \\[5pt] x\cdot 1 &=& y \\[5pt] x &=& y \end{eqnarray}となるからです。
$0$ でない有理数 $q$ に対して、 $qx=xq=1$ となる有理数 $x$ のことを、乗法の逆元(inverse element) といい、 $q^{-1}$ と書いて表します。
乗法の逆元
$0$ でない任意の有理数 $q$ に対して、 $qx=xq=1$ を満たす有理数 $x$ がただ1つ存在する。この $x$ のことを、（乗法に関する） $q$ の逆元といい、「 $q^{-1}$ 」と表す。
$q=0$ の場合は、 $qx=1$ を満たす有理数 $x$ が存在しません（左辺の積はつねに $0$ になるからです）。なので、 $q=0$ のときは逆元は考えません。
有理数と体
ここまで、有理数の乗法の性質を見てきましたが、このような構造には名前がついています。（以下では、整数と環に似た話が続きますが、読み飛ばしても構いません）
一般に、ある集合 $A$ に対して、2つの二項演算、加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が定義されていたとします。このとき、次の性質が成り立つとしましょう。
(a) $(A,+)$ が可換群である
(b) $(A, \cdot)$ がモノイドであり、 $0$ 以外の元が可換群をなす
(c) 分配法則が成り立つ
このとき、 $(A,+,\cdot)$ のことを体(たい、field) といいます。
整数が可換環であることは見ましたが、 $0$ 以外の元が（乗法での）逆元を持たないため、体にはなりません。一方、有理数の世界では、これらの性質を持つので、体になります。
体は、（ $0$ で割ること以外の）四則演算が自由にできる世界を表しています。
実は、環がある性質を満たせば、そこから体を作ることが可能です。環が次の条件「零因子を持たない」を満たすとき、整域(integral domain) といいます。
零因子を持たない
$a\cdot b=0$ ならば $a=0$ または $b=0$
整数の乗法はこの性質を持っています。これがあれば、例えば、 $x\ne 0$ かつ $a\cdot x=b\cdot x$ のとき、 $(a-b)\cdot x=0$ から $a=b$ が言えます。簡約法則が成り立つということです。
このとき、整数から有理数を作ったように、同値類、加法、乗法を定義すれば、整域から体を作ることができます。このように作った体のことを、商体(field of quotients) といいます。
詳しくは、代数学を学ぶときに見ることになるでしょう。
おわりに
ここでは、有理数の乗法の性質について見てきました。自然数や整数の乗法と同じ性質を持つうえ、乗法に関する逆元をもつことも見てきました。
これにより、有理数の世界では、除法を考えることができるようになります。次は、有理数の除法について見ていきます。