有理数の除法
ここでは、有理数の乗法の性質や逆元の定義を踏まえて、除法を見ていくことにします。
有理数の乗法の復習
まずは、有理数の乗法の性質について、内容を少し振り返っておきます。
整数 $a\in\mathbb{Z}$ と $0$ 以外の整数 $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき、このとき $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。
$[(a,b)] = \lbrace (c,d)\mid ad=cb \rbrace$
これは、有理数を $\dfrac{a}{b}$ で表そうというアイデアに基づいています。 $ad=cb$ なら $a\div b=c\div d$ が成り立つのだから、同じ有理数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\lbrace [(a,b)] \rbrace$ を有理数の集合といい、各元を有理数と呼ぶのでした。
また、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。
そして、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との積は、\[ [(ac,bd)] \]で定義しました。これは、\[ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]というアイデアによります。
このように和や積を定義すれば、代表元によらずに定義することができるのでした。
$a\ne 0$ のとき、 $[(a,b)]$ に対し、 $[(b,a)]$ との積を考えると $[(ab,ba)]=[(1,1)]$ となります。このように、有理数 $q$ に対して、掛けて $1$ になるものを $q$ の（乗法における）逆元といい、 $q^{-1}$ で表します。
ここまでが、有理数の乗法の復習です。
有理数の除法
ここまでの内容と、高校までの内容を合わせれば、有理数の除法は次のように定義するのが自然でしょう。
有理数の除法
2つの有理数 $x,y$ $(y\ne 0)$ について、 $x\div y$ を $x\cdot y^{-1}$ と定める。この演算を、有理数の除法といい、計算結果を商という。
有理数の乗法の逆元でも見た通り、 $0$ には乗法の逆元が存在しないので、 $0$ で割ることは考えません。
除法に関連して、分数表記も導入しましょう。
$x\cdot y^{-1}$ のことを $\dfrac{x}{y}$ と書きます。つまり、 $2\div 3=\dfrac{2}{3}$ と書く、ということです。
簡易的な表記として、 $x/y$ と書くこともあります。
$1$ の逆元は $1$ なので、 $1$ で割ることと $1$ を掛けることは同じです。そのため、 $a\in\mathbb{Q}$ とするとき、 $\dfrac{a}{1}$ は $a\cdot 1$ と等しく、 $a$ に等しいことがわかります。このため、 $\dfrac{a}{1}$ は $a$ と書きます。
$a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^{\ast}$ のとき、次のことが成り立ちます。 \begin{eqnarray} [(a,1)]\cdot[(1,b)]=[(a,b)] \end{eqnarray}また、 $[(1,b)]\cdot [(b,1)]=[(b,b)]=[(1,1)]$ であることから、 \begin{eqnarray} [(a,b)] &=& [(a,1)]\cdot[(1,b)] \\[5pt] &=& a \cdot b^{-1} \\[5pt] &=& \frac{a}{b} \end{eqnarray}と書けます。このことから、有理数の集合 $\mathbb{Q}$ は \begin{eqnarray} \mathbb{Q}=\left\lbrace \dfrac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}^{\ast}\right \rbrace \end{eqnarray}と表せることがわかります。
また、先ほど、 $[(a,b)]$ と $[(b,a)]$ の積が $1$ であることを見ましたが、これは\[ \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1 \]ということです。この式を、 $\dfrac{b}{a}$ が $\dfrac{a}{b}$ の逆数であることを表していると見れば\[ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a} \]と書くこともできます。
分数の割り算で分母と分子を入れ替えることについて
さて、小学校の分数の計算で、「分数で割るときに、どうして分母・分子を入れ替えて掛けるのか」と多くの人が疑問に思うでしょう。
新しい定義では、割り算とは逆元を掛けることです。 $\dfrac{a}{b}$ で割ることは、 $\dfrac{a}{b}$ の逆元を掛けること（除法の定義）であり、先ほど見たことから $\dfrac{b}{a}$ を掛けることです。なので、分母・分子を入れ替えて掛けるのは、ほとんど当たり前です。
小学校のときには、割り算は、「分ける」という考え方をよく使います。12個のアメを4人の子どもたちで分ける、というような状況で割り算を使います。そのため、「分数で割る」が「分母・分子を入れ替えて掛ける」につながりにくいのかもしれません。この算数での疑問を、新しい定義にそって説明すれば、次のようになるでしょう。
$\dfrac{1}{3}\div \dfrac{4}{5}$
$=\dfrac{1}{3}\div \dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{4}{5}\times \dfrac{5}{4}\right)$ （ $1$ を掛ける）
$=\left(\dfrac{1}{3}\div \dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5}\right)\times \dfrac{5}{4}$
$=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{5}{4}$ （同じ数を割って掛けたらもとの数に戻る）
割り算を「逆元を掛けること」だと思えば、「ある数で割って同じ数を掛けたらもとの数に戻る」ことになります。この考えを使えば、上のような説明になるでしょう。アメを分けてから回収することを考えれば、「割って掛けたら元に戻る」は受け入れやすいんじゃないかと思います。最初と最後を見れば、分数で割ることは、分母と分子を入れ替えて掛けるのと同じだとわかります。
おわりに
ここでは、有理数の除法について見てきました。 $0$ 以外の有理数については、乗法における逆元が存在することを見たので、逆数を掛けることで除法を定義しました。
次は、有理数の四則演算を踏まえて、順序について見ていきます。