有理数の簡約法則

ここでは、整数の加法や乗法において、簡約法則が成り立つことを示していきます。

有理数の順序の復習

有理数関連の定義で、順序までを復習しておきましょう。

整数 $a\in\mathbb{Z}$ と $0$ 以外の整数 $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき、 $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。

これは、有理数を $\dfrac{a}{b}$ で表そうというアイデアに基づいています。 $ad=cb$ なら $a\div b=c\div d$ が成り立つのだから、同じ有理数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\lbrace [(a,b)] \rbrace$ を有理数の集合といい、各元を有理数と呼ぶのでした。

また、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。

有理数の世界では、加法には逆元が存在します。有理数 $q$ に対して和が $0$ となるものがただ1つあるので、それを $-q$ と表します。有理数の減法は $p-q=p+(-q)$ で定義します。

2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との積は、\[ [(ac,bd)] \]で定義しました。これは、\[ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]というアイデアによります。

このように和や積を定義すれば、代表元によらずに定義することができるのでした。

有理数の乗法には、逆元が存在します。 $0$ でない有理数 $q$ に対して、積が $1$ になる有理数がただ1つ存在します。これを $q^{-1}$ と書きます。 $\dfrac{1}{q}$ とも表します。また、 $x\cdot y^{-1}$ のことを $\dfrac{x}{y}$ と表します。

これらの表記を使えば、\[ [(a,b)]=\frac{a}{b} \]と書くこともできます。

順序は次のように考えます。有理数 $x,y$ に対し、 $a,b,c,d$ を $a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^+$ で $x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$ となるように（ $b,d$ が正の整数となるように）選びます。このとき、

などと定義します。

このように、有理数を定義し、四則演算や順序を定義してきました。

有理数の加法と簡約法則

自然数や整数の加法では簡約法則が成り立ちますが、有理数の加法でも成り立ちます。

有理数の世界では、加法の逆元が存在するので、両辺に $-z$ を足すだけで示せます。

これは「等しい」場合ですが、「より小さい」や「以上」の場合でも成り立ちます。

$x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$, $z=\dfrac{e}{f}$ と書くことにします。 $a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^+$ とします。

$x+z=\dfrac{af+be}{bf}$, $y+z=\dfrac{cf+de}{df}$ なので、 $f\gt 0$ から $$\begin{aligned} & x+z \leqq y+z \\[5pt] & \iff (af+be)df \leqq (cf+de)bf \\[5pt] & \iff adff \leqq cbff \\[5pt] & \iff ad \leqq cb \\[5pt] & \iff \frac{a}{b} \leqq \frac{c}{d} \\[5pt] & \iff x\leqq y \end{aligned}$$なので、成り立ちます。逆が成り立つこともわかります。

他も同様にすると、 $x,y,z$ は有理数として、

• $x\lt y$ と $x+z\lt y+z$ は同値
• $x= y$ と $x+z= y+z$ は同値
• $x\gt y$ と $x+z\gt y+z$ は同値

などは、同じようにして示せます。

有理数の乗法と簡約法則

乗法でも簡約法則が成り立ちます。

$z\ne 0$ のときは、 $z^{-1}$ が存在するので、これを $xz=yz$ の両辺に掛けると $x=y$ が得られます。

順序については、正か負かで結論が変わってきます。

$x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$, $z=\dfrac{e}{f}$ と書くことにします。 $a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^+$ とします。

$x\lt y$ は $ad \lt cb$ と同値です。また、 $$\begin{aligned} & xz \lt yz \\[5pt] & \iff \dfrac{ae}{bf}\lt \dfrac{ce}{df} \\[5pt] & \iff aedf \lt cebf \\[5pt] & \iff ade \lt ceb \end{aligned}$$となります（3行目から4行目は、 $f$ が正の整数だからです。参考：整数の乗法と順序）。

$z\gt 0$ なら $e\gt 0$ なので、 $ad\lt cb$ と $ade\lt ceb$ は同値となります。つまり、 $x\lt y$ と $xz\lt yz$ は同値になります。

一方、 $z\lt 0$ なら $e\lt 0$ なので、 $ad\lt cb$ と $ade\gt ceb$ は同値となり、このとき、 $x\lt y$ と $xz\gt yz$ は同値になります。

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また、この式で、 $x=0$ とすると、「 $y\gt 0$, $z\gt 0$ ならば $yz\gt 0$ 」が導けます。つまり、正の有理数同士の積は正だ、ということです。同様に、2つの有理数の積は、同符号の場合は正で、異符号の場合は負になることが確かめられます。

おわりに

ここでは、有理数の簡約法則について見てきました。

$x,y,z\in\mathbb{Q}$ のとき、 $x+z=y+z$ と $x=y$ は同値になります。また、 $x+z\lt y+z$ と $x\lt y$ は同値になります。同じ数を足したり引いたりしても、等しいことや順序は変わりません。

乗法の場合は少し状況が変わります。 $z\ne 0$ のときは、 $xz=yz$ と $x=y$ が同値になります。 $0$ は特殊ケースなので除かなくてはいけません。

また、
　$z\gt 0$ のときは、 $x\lt y$ と $xz\lt yz$ は同値
　$z\lt 0$ のときは、 $x\lt y$ と $xz\gt yz$ は同値
というように、順序の場合は正の有理数を掛けるか負の有理数を掛けるかで結果が変わります。これらは中学でも学ぶ内容ですが、新しく定義した四則演算や順序でも成り立ちます。