有理数の順序
ここでは、有理数の順序について見ていきます。
ここまでの有理数の話
有理数関連の定義について、復習しておきましょう。
整数 $a\in\mathbb{Z}$ と $0$ 以外の整数 $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき、 $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。
$[(a,b)] = \lbrace (c,d)\mid ad=cb \rbrace$
これは、有理数を $\dfrac{a}{b}$ で表そうというアイデアに基づいています。 $ad=cb$ なら $a\div b=c\div d$ が成り立つのだから、同じ有理数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\lbrace [(a,b)] \rbrace$ を有理数の集合といい、各元を有理数と呼ぶのでした。
また、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。
有理数の世界では、加法には逆元が存在します。有理数 $q$ に対して和が $0$ となるものがただ1つあるので、それを $-q$ と表します。有理数の減法は $p-q$ は $p+(-q)$ で定義します。
2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との積は、\[ [(ac,bd)] \]で定義しました。これは、\[ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]というアイデアによります。
このように和や積を定義すれば、代表元によらずに定義することができるのでした。
有理数の乗法には、逆元が存在します。 $0$ でない有理数 $q$ に対して、積が $1$ になる有理数がただ1つ存在します。これを $q^{-1}$ と書きます。 $\dfrac{1}{q}$ とも表します。また、 $x\cdot y^{-1}$ のことを $\dfrac{x}{y}$ と表します。
これらの表記を使えば、 $$\begin{aligned} [(a,b)] &= [(a,1)]\cdot[(1,b)] \\[5pt] &= [(a,1)]\cdot [(b,1)]^{-1} \\[5pt] &= \frac{a}{b} \end{aligned}$$と書くことができます。
このように、有理数を定義し、加法・減法・乗法・除法を定義してきました。
有理数の順序を定義するための準備
自然数や整数でも順序を考えました。 $x\lt y$ のような関係です。これを有理数でも考えるにはどうすればいいでしょうか。
高校までの数学をもとに、分数表記で $\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{c}{d}$ となる場合を考えてみましょう（ $a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^*$ ）。 $b,d$ が正なら、これは $ad\lt bc$ と同値です。これは整数の順序なので、すでに定義したものです。
$b$ や $d$ が負の整数の場合も考える必要がありますが、場合分けが増えると面倒です。なので、そもそも正の整数になる場合を考えるだけで済むようにしたいです。
そのために、まずは、次のことを示しましょう。
約分
$a,b,c\in\mathbb{Z}$ で、 $b\ne 0$, $c\ne 0$ のとき、次が成り立つ。\[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc} \]
これは今までの記号を使えば、 $[(a,b)]=[(ac,bc)]$ のことです。これが同じであることは、\[ a\cdot (bc)=(ac)\cdot b \]からわかります。整数の乗法の結合法則や交換法則から導けます。
右辺から左辺への変形は、 $c$ を削除すると考えれば、これは約分をしていることになります。
このことから、もし有理数 $\dfrac{a}{b}$ があったときに、 $b$ が負の整数であれば、それぞれの整数に $-1$ をかけて\[ \dfrac{-a}{-b} \]を考えるようにすればいいです（参考：整数の乗法の性質#整数の逆元と積の後半部分）。こうすれば、 $-b$ は正の整数となります（参考：整数の順序#逆元と順序の後半部分）。
このことから、有理数 $q$ は、 $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^+$ を使って\[ q=\dfrac{a}{b} \]と書けることがわかります。 $q$ には、 $b$ を正の整数から選んで表す方法がある、ということです。
有理数の順序
先ほどの内容を踏まえて、有理数の順序は次のように定義します。
有理数の順序
有理数 $x,y$ に対し、 $a,b,c,d$ を $a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^+$ で $x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$ となるように選ぶ。このとき、順序を次のように定義する。
- $ad \leqq cb$ $\iff$ $x\leqq y$
- $ad\geqq cb$ $\iff$ $x\geqq y$
- $ad\lt cb$ $\iff$ $x\lt y$
- $ad\gt cb$ $\iff$ $x\gt y$
先ほど見たように、有理数を分数表記（整数÷整数の形）にしたときに、分母を正にするようにできます。負の整数なら、分母・分子に $-1$ を掛ければいいですからね。このように表したときに、上のように順序を定義すれば、今まで使ってきた有理数の順序と整合性がとれていることがわかるでしょう。
ただし、1点確認しておくべきことがあります。もし $x=\dfrac{a}{b}$ を $x=\dfrac{a'}{b'}$ という別の表記に変えたらどうなるでしょうか。つまり、この定義が well-defined であることを確かめないといけない、ということです。
この場合、 $ab'=a'b$ が成り立ちます。なので、例えば、 $ad\leqq cb$ が成り立っているなら
$ad\leqq cb$
$b'ad\leqq b'cb$ （正の整数 $b'$ を掛けた）
$ba'd\leqq bb'c$ （ $ab'=a'b$ と交換法則より）
$a'd\leqq cb'$ （ $b\gt 0$ より）
となります。上の計算では、整数の乗法と順序で示したように、正の整数を両辺に掛ける前後で順序が変わらないことを使っています。
こうして、 $x=\dfrac{a'}{b'}$ の表記でも $a'd\leqq cb'$ となることが示せました。他の場合も、別の表記を使っても、この順序が定義できていること、代表元によらないことが、同じような計算で示すことができます。
2つの整数 $ad, cb$ は、 $ad\gt cb$, $ad=cb$, $ad\lt cb$ のどれかが1つだけ必ず成り立ちます。なので、2つの有理数 $x,y$ は、必ず $x\gt y$, $x=y$, $x\lt y$ のどれかが1つだけ成り立ちます。
特に、 $b\in\mathbb{Z}^+$, $c=0$ のときは、 $x=\dfrac{a}{b}$ は、 $a$ が正の整数、 $0$ 、負の整数のときに、それぞれ、 $x\gt 0$, $x=0$, $x\lt 0$ となります。このとき、それぞれ、正の有理数、 $0$ 、負の有理数といいます。有理数は必ずこの3つのどれかになります。
有理数の順序の性質
自然数や整数で成り立った順序の性質は、有理数でも同じように成り立ちます。このことを見ていきましょう。ここでは、分母にある整数は正の整数とします。
有理数の順序の反射律
任意の有理数 $x$ に対して、 $x\leqq x$ が成り立つ。
$x=\dfrac{a}{b}$ と書いたとき、 $ab\leqq ab$ が成り立つので、「以下」の定義から、 $x\leqq x$ となります。
有理数の順序の推移律
任意の有理数 $x,y,z\in \mathbb{Q}$ に対して、 $x\leqq y$ かつ $y\leqq z$ ならば $x\leqq z$ が成り立つ。
$x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$, $z=\dfrac{e}{f}$ と書くことにします。なお、整数の乗法と順序より、整数 $p,q,r$ について、 $r\gt 0$ のとき、 $p\lt q$ と $pr\lt qr$ が同値になることを使います。
$x\leqq y$ から $ad\leqq cb$ が成り立つので、両辺に $f\gt 0$ を掛けて $adf\leqq cbf$ が成り立ちます。
$y\leqq z$ から $cf\leqq ed$ が成り立つので、両辺に $b\gt 0$ を掛けて $bcf\leqq bed$ が成り立ちます。
$cbf=bcf$ と整数の順序の推移律から $adf\leqq bed$ が成り立ち、 $d\gt 0$ なので、 $af\leqq eb$ が成り立ちます。これは $x\leqq z$ のことです。
こうして、 $x\leqq y$ かつ $y\leqq z$ ならば $x\leqq z$ であることが示せました。
有理数の順序の反対称律
任意の有理数 $x,y$ に対して、 $x\leqq y$ かつ $y\leqq x$ ならば $x=y$ が成り立つ。
$x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{d}$ とします。
$x\leqq y$ より $ad\leqq cb$ であり、 $y\leqq x$ より $cb\leqq ad$ が成り立ちます。整数の順序の反対称律（参考：整数の順序の性質）から、 $ad=cb$ が得られます。これは、 $x=y$ ということです（有理数の定義より）。
有理数の稠密性
最後に、有理数の稠密性の話をしましょう。自然数や整数と大きく異なる点です。
自然数の場合は、「次の数」が存在します。整数の場合は、「次の数」に加えて、「前の数」もつねに存在します。次の数とは $1$ を足した数のことで、前の数は $1$ を引いた数のことです。
数直線上で考えると、とびとびの値をとるイメージです。
一方、有理数の場合は、数直線上で考えると、びっしり存在していて、「前の数」「次の数」を考えることはできません。それを表すのが次の内容です。
有理数の稠密性
$a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^+$ とする。このとき、 $\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{c}{d}$ とすると、次が成り立つ。\[ \dfrac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+d} \lt \dfrac{c}{d} \]
定義にしたがって確認してみましょう。 $\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{c}{d}$ なので、 $ad\lt cb$ が成り立ちます。また、 $b\gt 0$, $d\gt 0$ から $b+d\gt 0$ であることもわかります。
さて、左側の不等式は $$\begin{aligned} a(b+d)-(a+c)b &= ad-cb \lt 0 \end{aligned}$$だから成り立ちます。右側の不等式は $$\begin{aligned} (a+c)d-c(b+d) &= ad-cb \lt 0 \end{aligned}$$だから、成り立ちます。
こうして、示したい式が示せました。
この不等式から、「2つの異なる有理数をとれば、その間に必ず別の有理数が存在する」ことがわかります。
例えば、2つの異なる有理数 $p,q$ に対して、 $p$ と $q$ の間に別の有理数 $p_1$ が存在します。さらに、 $p_1$ と $q$ の間に別の有理数 $p_2$ が存在します。さらに、 $p_2$ と $q$ の間に別の有理数 $p_3$ が存在します。
これを繰り返していくと、 $p,q$ の間にはぎっしり有理数が存在していることがわかります。このことを稠密性といいますが、詳しくは、将来、集合論を学んだときに見ることになるでしょう。
2つの有理数の間にぎっしり有理数が存在している、というのは、自然数や整数にはない特徴です。
おわりに
ここでは、有理数の順序について見てきました。分母を正の整数になるように表し、両辺が整数になるようにしてから、整数の順序を使って定義しました。この定義が well-defined であることも確認しました。
最後には、有理数の特徴である稠密性についても見ました。異なる2つの有理数の間に別の有理数が存在することを、具体的な表現を使って示しました。
次は、有理数の簡約法則について見ていきます。