有理数の加法の性質

有理数の加法の定義を踏まえて、加法の性質について見ていきます。

有理数の加法の定義の復習

有理数の加法の性質を見ていく前に、定義を少し振り返っておきます。

整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき $[(a,b)]$ を次のようにしてグループ分けをしていきます。

これは、有理数を $a\div b$ で表そうというアイデアに基づいています。 $a\div b=c\div d$ なら、「 $(a,b)$ と $(c,d)$ は同じ有理数を表す」と考え、各 $[(a,b)]$ を有理数と呼ぶのでした。ただ、割り算は定義していないので $a\div b$ や $\dfrac{a}{b}$ とは書かずに、ペアのまま考えます。

2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。

1つの有理数を整数のペアで表す方法は、一般的に複数あります。そのため、どのように表すかで結果が変わってくる可能性があるのですが、上のように加法を定義すると、どのような表し方でも和が定義できるのでした。つまり、代表元によらずに定義できる、ということです。

ここまでが、有理数の加法の定義の話です。

なお、以下では、整数の乗法の簡約法則をよく使うので、これもまとめておきましょう。

整数と簡約法則で見たように、 $x,y\in \mathbb{Z}$ が $xy=0$ のとき、 $x=0$ または $y=0$ が成り立ちます。対偶の「 $x\ne 0$ かつ $y\ne 0$ なら $xy\ne 0$ 」もよく使います。

また、 $z$ が $0$ でない整数のとき、 $xz=yz$ なら $x=y$ が成り立ちます。これを（乗法における）簡約法則というのでした。

これらを踏まえて、有理数の加法の性質を見ていきます。

ゼロについて

有理数の加法の定義#整数の加法と有理数の加法でも見たように、整数 $z$ は 有理数 $[(z,1)]$ と同一視できます。なので、整数 $0$ は、有理数 $[(0,1)]$ と同一視できます。

整数の世界での加法では、 $0$ を足しても結果が変わりませんでしたが、有理数の世界でもそうなっていることを確認してみましょう。

$a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}^{\ast}$ を使って、有理数 $[(a,b)]$ を表すとします。このとき、 $0$ との和、つまり、 $[(0,1)]$ との和は\[ [(a,b)]+[(0,1)] = [(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)] = [(a,b)] \]となります。足した後も、足す前と変わっていません。

また、入れ替えて足したものは\[ [(0,1)]+[(a,b)] = [(0\cdot b+1\cdot a,1\cdot b)] = [(a,b)] \]となり、やはり、足す前と変わっていません。

以上から、有理数の世界でも、 $0$ を足した結果が足す前と変わらないことがわかりました。どんな有理数 $q$ に対しても、 $q+0=0+q=q$ となります。

逆に、 $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a,b)]$ が成り立つとしてみましょう。このとき、左辺は $[(ad+bc,bd)]$ となり、これが右辺と等しいことから\[ (ad+bc)b=abd \]が成り立ちます。 $a,b,c,d$ は整数なので、分配法則や $-abd$ を足すなどして\[ b\cdot b\cdot c=0 \]が成り立ちます。 $b\ne 0$ なので、 $c=0$ がわかります。 $[(0,d)]$ は $[(0,1)]$ と等しいので、このような $[(c,d)]$ は $0$ しかないことがわかります。

有理数の加法と交換法則

自然数や整数の加法では交換法則： $x+y=y+x$ が成り立ちましたが、これは有理数の世界でも成り立ちます。

整数 $a,c$ と $0$ でない整数 $b,d$ を使って、有理数の和を考えます。 $$\begin{aligned} [(a,b)]+[(c,d)] &= [(ad+bc,bd)] \\[5pt] [(c,d)]+[(a,b)] &= [(cb+da,db)] \end{aligned}$$であり、整数の加法や乗法では交換法則が成り立つので、右辺同士は等しくなります。よって、左辺同士も等しくなります。

有理数の加法と結合法則

自然数や整数の加法では結合法則： $(x+y)+z=x+(y+z)$ が成り立ちましたが、これは有理数の世界でも成り立ちます。確かめてみましょう。

$a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^{\ast}$ を使って、有理数の和を考えます。 $x=[(a,b)]$, $y=[(c,d)]$, $z=[(e,f)]$ とします。左辺を計算すると $$\begin{aligned} & [(ad+bc,bd)]+[(e,f)] \\[5pt] &= [((ad+bc)f+bde,bdf)] \\[5pt] &= [(adf+bcf+bde,bdf)] \\[5pt] \end{aligned}$$となります。右辺は $$\begin{aligned} & [(a,b)]+[(cf+de,df)] \\[5pt] &= [(adf+b(cf+de),bdf)] \\[5pt] &= [(adf+bcf+bde,bdf)] \end{aligned}$$となります。最後の式同士が等しいので、\[ (x+y)+z=x+(y+z) \]となることがわかります。

逆元の存在と一意性

整数には逆元がありましたが、有理数にも逆元が存在します。

$a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^{\ast}$ を用いて、有理数 $[(a,b)]$ について考えます。このとき、 $[(-a,b)]$ との和を考えると $$\begin{aligned} & [(a,b)]+[(-a,b)] \\[5pt] &= [(ab+b(-a),b\cdot b)] \\[5pt] &= [(0,b\cdot b)] \end{aligned}$$となり、和が $0$ になることがわかります。また、交換法則から、 $[(-a,b)]+[(a,b)]=[(0,b\cdot b)]$ も成り立ちます。

こうして、有理数 $q$ に対して、 $q+x=x+q=0$ となる有理数 $x$ が存在することがわかります。

---

また、有理数 $q$ に対して、 $q+x=x+q=0$ となるような $x$ は、1つしか存在しません。

もし、有理数 $q$ に対して、ある有理数 $x,y$ が、 $q+x=x+q=0$, $q+y=y+q=0$ を満たしているとしましょう。 $x+q=0$ の両辺に $y$ を足すと $$\begin{aligned} (x+q)+y &= 0+y \\[5pt] x+(q+y) &= y \\[5pt] x+0 &= y \\[5pt] x &= y \end{aligned}$$となります。よって、1つしか存在しないことがわかります。

有理数 $q$ に対して、 $q+x=x+q=0$ となる有理数 $x$ のことを、加法における逆元(inverse element) といい、 $-q$ と書いて表します。

ところで、ここまでの話を振り返ってみると、整数の加法の性質とかなり似ています。確認している内容はほぼかぶっています。

ただ、構造が違うため、確認する内容は異なります。整数の場合と有理数の場合では、ペアを同一視する方法が異なります。

また、和の定義の仕方も異なります。

そのため、「似ている」とはいっても、例えば、交換法則や結合法則が成り立つことは、それぞれの計算方法で確かめないといけません。

しかし、「逆元の一意性」のチェックのところを見てみましょう。 $x,y$ が $q$ の逆元とすると $$\begin{aligned} x+q &= 0 \\[5pt] (x+q)+y &= 0+y \\[5pt] x+(q+y) &= y \\[5pt] x+0 &= y \\[5pt] x &= y \end{aligned}$$となるから、逆元は1つしかない、という流れですが、ここで使っている内容は、 $x,y$ が $q$ の逆元であることの他には、ゼロの性質や和の結合法則だけです。つまり、和をどのように定義しているかによりません。他の和の性質から導けます。

つまり、毎回調べなくてもいい、ということです！

将来、代数学という分野を学べば、いろんな演算に共通する性質を見ていくことになります。群では、逆元が一意に定まることも、そのときに見るでしょう。

有理数の減法の定義

有理数には逆元が存在するので、整数のときと同じように減法も定義できます。

$[(2,3)]-[(4,5)]$ であれば、 $[(2,3)]+[(-4,5)]$ のことであり、\[ [(2\cdot 5+3\cdot(-4),3\cdot 5)]=[(-2,15)] \]と求められます。

なお、整数の減法のときに見た、

• $-(-z)=z$
• $-(p+q)=-p-q$

は、有理数の場合にも成り立ちます。リンク先で見た内容は、どのように和を定義しているかに関係なく、逆元や和の性質だけを使って示していることから、成り立つことがわかります。

おわりに

ここでは、有理数の加法の性質を見てきました。整数の加法のときと似たような性質を持っていることを確認してきました。確認方法も似ていますが、定義が異なるために再度確認する必要がありました。

ただ、逆元の一意性など、和をどのように定義したかに関係なく成り立つものがあることも見ました。将来、代数学を学ぶときに詳しく見ていくことになるでしょう。

次は、有理数の乗法について見ていきます。