有理数の乗法の性質

ここでは、有理数の乗法を定義を受けて、乗法の性質を見ていきます。

有理数の乗法の振り返り

まずは、有理数の乗法の定義について振り返っておきましょう。

整数 $a\in\mathbb{Z}$ と $0$ 以外の整数 $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、ペア $(a,b)$ を考えます。このとき、 $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。

これは、有理数を $\dfrac{a}{b}$ で表そうというアイデアに基づいています。 $ad=cb$ なら $a\div b=c\div d$ が成り立つのだから、同じ有理数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\lbrace [(a,b)] \rbrace$ を有理数の集合といい、各元を有理数と呼ぶのでした。

また、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(ad+bc,bd)] \]で定義しました。これは、 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ というアイデアによります。こうすれば、代表元によらずに定義することができるのでした。

そして、2つの有理数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との積は、\[ [(ac,bd)] \]で定義しました。これは、\[ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]というアイデアによります。こうすれば、代表元によらずに積が定義することができるのでした。

これらを踏まえて、乗法の性質を見ていきましょう。

ゼロとの積

整数の世界では、 $0$ との積は $0$ になりましたが、これは有理数の乗法でも成り立ちます。

$q$ は、 $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $[(a,b)]$ で表すことができます。 $0$ は $[(0,1)]$ と書けるので、定義通りに積を求めると $$\begin{aligned} z\cdot 0 &= [(a\cdot 0, b\cdot 1)] \\[5pt] &= [(0,b)] \end{aligned}$$となります。これは $0$ のことなので、 $q\cdot 0=0$ となります。 $0\cdot q=0$ も同様の計算で示せます。

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なお、有理数の世界でも、積が $0$ ならどちらかは $0$ になります。

$a,b,c,d\in\mathbb{Z}^*$ として $[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(0,1)]$ だとしましょう。このとき、\[ ac\cdot 1=0\cdot bd \]が成り立ちます。つまり、 $ac=0$ ですが、整数の乗法では、 $0$ でないもの同士の積が $0$ になることはありません（参考：整数と簡約法則#整数の乗法と簡約法則）。なので、 $a=0$ または $c=0$ であり、 $[(a,b)]=0$ または $[(c,d)]=0$ であることがわかります。

イチとの積

整数の乗法では、 $1$ を掛けても結果は変わりませんでしたが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。

先ほどと同じように $q$ を $[(a,b)]$ と表します。 $1$ は $[(1,1)]$ と書けるので、 $$\begin{aligned} z\cdot 1 &= [(a\cdot 1, b\cdot 1)] \\[5pt] &= [(a,b)] \end{aligned}$$となるので、 $q\cdot 1=q$ となります。 $1\cdot q=q$ も同様の計算で示せます。

有理数の乗法の交換法則

自然数や整数の乗法では、掛ける順番を入れ替えても積は変わらなかったですが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。

$a,c\in\mathbb{Z}$, $b,d\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$ と表します。すると、 $$\begin{aligned} xy &= [(ac,bd)] \\[5pt] yx &= [(ca,db)] \end{aligned}$$となります。整数の乗法の交換法則から、右辺同士が等しいことがわかるので、 $xy=yz$ が成り立つことがわかります。

有理数の乗法の結合法則

自然数や整数の乗法では、結合法則が成り立ちますが、有理数の乗法でも同じことが成り立ちます。

$a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$, $z$ を $[(e,f)]$ と表すと $$\begin{aligned} & (xy)z \\[5pt] &= [(ac,bd)]\cdot[(e,f)] \\[5pt] &= [((ac)e,(bd)f)] \end{aligned}$$となり、 $$\begin{aligned} & x(yz) \\[5pt] &= [(a,b)]\cdot[(ce,df)] \\[5pt] &= [(a(ce),b(df))] \end{aligned}$$となります。整数の乗法の結合法則から、最後の式同士が等しいことがわかります。なので、 $(xy)z=x(yz)$ が成り立つことがわかります。

有理数の分配法則

有理数の世界でも、自然数や整数のときと同じように、分配法則が成り立ちます。

証明の流れは同じです。 $a,c,e\in\mathbb{Z}$, $b,d,f\in\mathbb{Z}^*$ を使って、 $x$ を $[(a,b)]$, $y$ を $[(c,d)]$, $z$ を $[(e,f)]$ とします。

まずは、1つ目の式を考えます。左辺は $$\begin{aligned} & x(y+z) \\[5pt] &= [(a,b)]\cdot\left([(c,d)]+[(e,f)]\right) \\[5pt] &= [(a,b)]\cdot [(cf+de,df)] \\[5pt] &= [(a(cf+de),b(df))] \\[5pt] &= [(acf+ade,bdf)] \end{aligned}$$であり、右辺は $$\begin{aligned} & xy+xz \\[5pt] &= [(ac,bd)]+[(ae,bf)] \\[5pt] &= [(acbf+bdae,bdbf)] \end{aligned}$$となります。この最後の式同士は等しい、つまり、\[ (acf+ade)bdbf = (acbf+bdae)bdf \]が成り立つことがわかります（展開して比較するだけです）。なので、1つ目の式が成り立つことがわかります。

2つ目の式は、
　$(x+y)z$
　$=z(x+y)$ （交換法則）
　$=zx+zy$ （先ほど示した分配法則）
　$=xz+yz$ （交換法則）
から、成り立つことがわかります。

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また、整数のときと同じようにすると、次のことも示せます。

示している内容を見てみると、分配法則やゼロとの積に関する性質を使っているだけなので、有理数のときも同じ形の式が成り立つことがわかります。

有理数の乗法の逆元

ここまでは、自然数や整数の乗法が持っている性質を、有理数の乗法も持っている、という話でしたが、ここからが違います。有理数の乗法の場合、 $0$ 以外の有理数には、掛けて $1$ になるものが必ず存在します。

$q$ を $0$ 以外の有理数とします。この $q$ は、 $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$ を使って $q=[(a,b)]$ と表せますが、 $a$ は $0$ となることはありません。 $a=0$ なら $[(0,1)]$ と等しくなってしまい、 $q\ne 0$ という条件を満たさないからです。

$q\ne 0$ のときは $a\ne 0$ となるので、 $[(b,a)]$ という別の有理数を考えることができます。このとき、 $$\begin{aligned} [(a,b)]\cdot[(b,a)] &= [(ab,ba)] \end{aligned}$$となります。 $ab\cdot1=1\cdot ba$ が成り立つので、この式は $[(1,1)]$ と等しくなります。つまり、 $1$ に等しくなります。交換法則から $[(b,a)]\cdot[(a,b)]=1$ も成り立ちます。

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$q$ に対して、このように、掛けて $1$ となるような有理数は1つしかありません。 $q\cdot x=x\cdot q=1$, $q\cdot y=y\cdot q=1$ とすると $$\begin{aligned} (x\cdot q)\cdot y &= 1\cdot y \\[5pt] x\cdot (q\cdot y) &= y \\[5pt] x\cdot 1 &= y \\[5pt] x &= y \end{aligned}$$となるからです。

$0$ でない有理数 $q$ に対して、 $qx=xq=1$ となる有理数 $x$ のことを、乗法における逆元(inverse element) といい、 $q^{-1}$ と書いて表します。

$q=0$ の場合は、 $qx=1$ を満たす有理数 $x$ が存在しません（左辺の積はつねに $0$ になるからです）。なので、 $q=0$ のときは逆元は考えません。

有理数と体

ここまで、有理数の乗法の性質を見てきましたが、このような構造には名前がついています。（以下では、整数と環に似た話が続きますが、読み飛ばしても構いません）

一般に、ある集合 $A$ に対して、2つの二項演算、加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が定義されていたとします。このとき、次の性質が成り立つとしましょう。

このとき、 $(A,+,\cdot)$ のことを体(たい、field) といいます。

整数が可換環であることは見ましたが、 $0$ 以外の元が（乗法での）逆元を持たないため、体にはなりません。一方、有理数の世界では、これらの性質を持つので、体になります。

体は、（ $0$ で割ること以外の）四則演算が自由にできる世界を表しています。

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実は、環がある性質を満たせば、そこから体を作ることが可能です。環が次の条件「零因子を持たない」を満たすとき、整域(integral domain) といいます。

整数の乗法はこの性質を持っています。これがあれば、例えば、 $x\ne 0$ かつ $a\cdot x=b\cdot x$ のとき、 $(a-b)\cdot x=0$ から $a=b$ が言えます。簡約法則が成り立つということです。

このとき、整数から有理数を作ったように、同値類、加法、乗法を定義すれば、整域から体を作ることができます。このように作った体のことを、商体(field of quotients) といいます。

詳しくは、代数学を学ぶときに見ることになるでしょう。

おわりに

ここでは、有理数の乗法の性質について見てきました。自然数や整数の乗法と同じ性質を持つうえ、乗法に関する逆元をもつことも見てきました。

これにより、有理数の世界では、除法を考えることができるようになります。次は、有理数の除法について見ていきます。